ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ของการประมาณการแจกแจงทวินามนิเสธด้วยการแจกแจงปัวซง
The Relative Error of Poisson Approximation to the Negative Binomial Distribution
Keywords:
การประมาณปัวซง, การแจกแจงทวินามนิเสธ, เอกลักษณ์สไตน์เชน, ฟังก์ชัน w, Poisson approximation, negative binomial distribution, Stein-Chen identity, w-functionAbstract
งานวิจัยนี้ได้ใช้ฟังก์ชัน w (w-function) ร่วมกับเอกลักษณ์สไตน์เชน (Stein-Chen identity) ในการหาขอบเขตบน (upper bound) ของความคลาดเคลื่อนสัมพันธ์สำหรับการประมาณการแจกแจงทวินามนิเสธ (ที่มีพารามิเตอร์ n และ p) ด้วยการแจกแจงปัวซง (ที่มีค่าเฉลี่ย λ = ) โดยอยู่ในรูปแบบของฟังก์ชันการแจกแจงสะสมนอกจากนี้เรายังสามารถหาขอบเขต (bound) ของอัตราส่วนระหว่างฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มทวินามนิเสธ และตัวแปรสุ่มปัวซง ขอบเขตทั้งสองแบบข้างต้นได้ชี้ให้เห็นว่าแต่ละผลลัพธ์จะให้ผลการประมาณปัวซงที่ดี เมื่อ q = 1-p หรือ λ มีค่าน้อย ในตอนท้ายของงานวิจัยเราได้ยกตัวอย่างเชิงตัวเลขเพื่อแสดงการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ที่ได้มาทั้งหมด This paper uses the w-function and the Stein-Chen identity to determine an upper bound of the relative error for approximating the negative binomial distribution with parameters n and p by the Poisson distribution with mean λ = in the form of a cumulative distribution function. Furthermore, we also give a bound of the ratio between the negative binomial and Poisson cumulative distribution functions. For these upper bounds, it is pointed out that each result yields a good Poisson approximation if q = 1-p or λ is small. Finally, we give some numerical examples to illustrate applications of all results obtained.References
Barbour, A.D., Holst. L., & Janson, S. (1992). Poisson approximation. Oxford Studies in probability 2. Oxford: Clarendon Press.
Cacoullos, T., & Papathanasiou, V. (1989). Characterization of distributions by variance bounds. Statistics & Probability Letters, 7, 351-356.
Johnson, N.L., Kotz, S., & Kemp, A.W. (2005). Univariate Discrete Distributions. (3rd ed.). New York: Wiley.
Majsnerowska, M. (1998). A note on Poisson approximation by w-functions. Applicationes Mathematicae, 25, 387-392.
Stein, C.M. (1986). Approximate Computation of Expectations. Hayward California: IMS.
Teerapabolarn, K. (2007). A bound on the Poisson-binomial relative error. Statistical Methodology, 4, 407-415.
Teerapabolarn, K., & Wongkasem, P. (2007). Poisson approximation for independent geometric random variables. International Mathematical Forum, 2, 3211-3218.
