การหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ x12 + x22 + x23 + … xn2 = u2 โดยวิธีทางเรขาคณิต
A Geometrial Approach to the Diophantine Equation x12 + x22 + x23 + … xn2 = u2
Keywords:
สมการไดโอแฟนไทน์, สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส, ทรงกลมหนึ่งหน่วย n มิติ, Diophantine solutions, Pythagorean triples, unit n – sphereAbstract
เราหาผลเฉลยทั้งหมดของสมการไดโอแฟนไทน์ x12 + x22 + x23 + … xn2 = u2 โดยพัฒนาจากวิธีทางเรขาคณิตของ (Ayoub, 1984) ที่ใช้ในการหาผลเฉลยของสมการ x2 + y2 + z2 = u2 เราสามารถหาจุดตรรกยะทั้งหมดบนทรงกลมหนึ่งหน่วย n มิติ ผ่านการลากเส้นตรงระหว่างจุดตรรกยะเหล่านั้น กับจุด (1, 0 , ..., 0) ซึ่งสมการอิงตัวแปรเสริมเส้นตรงดังกล่าวจะมีความชันเป็นตรรกยะเสมอ We find all Diophantine solutions for the equation x12 + x22 + x23 + … xn2 = u2 by refining the geometrical approach from (Ayoub, 1984) to find solutions of the equation x2 + y2 + z2 = u2 We can find all rational points on the unit n-sphere by lines connecting those rational points to the point (1, 0, ..., 0). Such linear parametric equations will always have rational slopes.References
Ayoub, A. B. (1984). Integral Solutions to the Equation x12 + x22 + x23 + … xn2 = u2, Mathematics Magazine, 57(4), 222-223.
Catalan, E. (1885). Bull. Acad. Roy. Belgique, 9(3), 531.
Cossali, P. (1797). Origine. Transporto in Italia. Algebra., 1, 97.
Dainelli, U. (1877). Giornale di Mat., 15, 378.
Gill, C. (1826). The Gentleman's Math. Companion, 29(5), 364.
Dickson, L. E. (1966). History of the Theory of Numbers (Vol. 2), Chelsea Publishing.
Euler, J. A. (1779). Acta Acad. Petrop., 3, 40.
Huerlimann, W. (2002). The Primitive Cuboids with Natural Edges and Diagonals According to Catalan and Sierpinski. Mathematics Preprint Archive, 2002 (2), 444-452. (SSRN: https://ssrn.com/abstract=3133707)
Huerlimann, W. (2015). Hopf's quadratic map and permutation invariant properties of primitive cuboids, Algebra Lett., 2015, Article ID 2.
Lebesgue, V. A. (1874). Nouv. Ann. Math., 13(2), 64.
Mikami, Y. (1912). Abh. Geschichte Math. Wiss., 30, 233.
