ผลเฉลยวางนัยทั่วไปของสมการโคชี-ออยเลอร์อันดับ 2 และอันดับ 3 โดยใช้การแปลงเอลซากิ
The Generalized Solutions of Second and Third-Order Cauchy-Euler Equations by Using the Elzaki Transforms
Keywords:
สมการโคชี-ออยเลอร์ , ฟังก์ชันไดแรคเดลต้า , การแปลงเอลซากิ , ผลเฉลยวางนัยทั่วไป, Cauchy-Euler equation, Dirac delta function, Elzaki transform, The generalized solutionsAbstract
บทความนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาผลเฉลยวางนัยทั่วไปของสมการโคชี-ออยเลอร์ที่อยู่ในรูปแบบของ t2 y" (t) + aty' (t) = 0 และ t3 y"' (t) + at2 y" (t) + bt y' (t) + cy (t) = 0 เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มและ t ∈ R โดยใช้เทคนิคการแปลงเอลซากิ ผลเฉลยที่ได้จะอยู่ในปริภูมิดิสทริบัวชัน ชนิดของผลเฉลยอยู่ในรูปแบบผลเฉลยดิสทริบิวชัน y (t) = ∂ (k) (t) และผลเฉลยแบบอ่อน y(t) = โดยชนิดของผลเฉลยขึ้นอยู่กับเงื่อนไขค่าของ a, b และ c This paper aims to study the generalized solutions of Cauchy-Euler equations of the form t2 y" (t) + aty' (t) = 0 and t3 y"' (t) + at2 y" (t) + bt y' (t) + cy (t) = 0 where a, b and c are integers and t ∈ R, using Elzaki transform technique. The solutions are in the space of distributions. Types of solutions are in the form of a distributional solution y (t) = ∂ (k) (t) and a weak solution y(t) = which depends on the values of a, b and c.References
Abbasbandy, S., & Eslaminasab, M. (2015). Study on usage of Elzaki transform for the ordinary differential equations with non-constant coefficients. Journal of Industrial Mathematics, 7(3), 277-281.
Alderremy, A. (2018). A comments on the paper: New transform iterative method for solving some Klein Gordon equations. Results in Physics, 11, 510-511.
Devi, A., Gill, V., & Roy, P. (2017). Solution of ordinary differential equations with variable coefficients using Elzaki transform. Asian Journal of Applied Science and Technology, 1(9), 186-194.
Elzaki, T. M. & Elzaki, S. M. (2011). On the connections between Laplace and Elzaki transforms. Advances in Theoretical and Applied Mathematics, 6(1), 1-11.
Elzaki, T. M. & Elzaki, S. M. (2011). On the Elzaki transform and ordinary differential equation with variable coefficients. Advances in Theoretical and Applied Mathematics, 6(1), 41-43.
Elzaki, T. M. & Elzaki, S. M. (2012). On the new integral transform Elzaki transform fundamental properties investigation and applications. Global Journal of Mathematical Sciences, 4(1), 1-13.
Elzaki, T. M., Elzaki, S. M., & Hilal, E. M. A. (2012). Elzaki and Sumudu transforms for solving some differential equations. Global Journal of Pure & Applied Mathematics, 8(2), 167-173.
Ghil, B. & Kim, H. (2015). The solution of Euler-Cauchy equation using Laplace transform. International Journal of Mathematical Analysis, 9(53), 2611 - 2618.
Jhanthanam, S., Kim, H., & Nonlaopon, K. (2019). Generalized solutions of the third-Order Cauchy-Euler equation in the space of right-sided distributions via Laplace transform. Mathematics, 7(4), 376.
Kananthai, A. (1999). Distribution solutions of the third-order Euler equation. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 23, 627-631.
Kanwal, R.P. (2004). Generalized function, Theory and applications. (3rd ed). Massachusetts: Birkhauser Boston.
Kim, H. (2013). The time shifting theorem and the convolution for Elzaki transform. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 87(2), 261-271.
Kim, H. (2014). The shifted data problems by using transform of derivatives. Applied Mathematical Sciences, 8(151), 149-152.
Kim, H. (2016). The method to find a basis of Euler-Cauchy equation by transforms. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 12(5), 4159-4165.
Kim, H., Nonlaopon, K., & Sacorn, N. (2018). A note on the generalized solutions of the third-order Cauchy-Euler equations. Communications in Mathematics and Applications, 9(4), 661-669.
Kim, H., & Song, Y. (2014). The solution of Voterra integral equation of the second kind by using the Elzaki transform. Applied Mathematical Science, 8(11), 525-530.
