พฤติกรรมแบบเกาส์ของเคอร์เนลความร้อน

Abstract

          สมการความร้อนคือสมการที่ใช้อธิบายการกระจายความร้อนบนปริภูมิหนึ่งๆ ณ เวลาใดๆ โดยทั่วไปคำตอบของสมการความร้อน จะอยู่ในรูปปริพันธ์ของผลคูณระหว่างฟังก์ชันความร้อนเริ่มต้นและเคอร์เนลความร้อน ดังนั้นพฤติกรรมของเคอร์เนลความร้อนจึง มีผลกระทบโดยตรงต่อพฤติกรรมของคำตอบของสมการความร้อน บทความนี้จะยกตัวอย่างความสัมพันธ์ข้างต้น ซึ่งก็คือความสัมพันธ์ระหว่างพฤติกรรมแบบเกาส์ของเคอร์เนลความร้อนและอสมการฮาร์แนค รวมถึงผลกระทบที่พฤติกรรมทั้งสองมีต่อสมบัติทางเรขาคณิต ได้แก่สมบัติทวีคูณและอสมการปวงกาเรของปริภูมินั้นด้วย โดยผู้เขียนหวังว่าบทความนี้จะเป็นความรู้เบี้องต้นให้กับผู้ที่สนใจทำวิจัยในสาขานี้ต่อไป             Heat equations are used to explain the distribution of heat over spaces and time. Typically, solutions of heat equations can be written as integrations of their initial heat profiles and heat kernels. Thus, heat kernel behavior directly influences the behavior of solutions of heat equations and vice versa. This article will review one such relation: the Gaussian behavior of heat kernel and the (parabolic) Harnack inequality. This article will also discuss how these two properties relate to the geometric properties such as doubling property and Poincare inequality of the underlying spaces. Hopefully, this will serve as an introduction to those interested in working in this field.