ระเบียบวิธีปริพันธ์จำกัดสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

Abstract

          บทความวิชาการนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อรวบรวมและนำเสนอระเบียบวิธีปริพันธ์จำกัด สำหรับการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่ n ซึ่งได้จากการทบทวนวรรณกรรมในช่วงปี ค.ศ. 2013 ถึง 2016 โดยระเบียบวิธีการนี้ได้จากการนำเทคนิคการประมาณค่าปริพันธ์มาประยุกต์ใช้ในการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ จากการศึกษาพบว่าเทคนิคการประมาณค่าปริพันธ์หลายๆ วิธีถูกนำมาประยุกต์ใช้กับระเบียบวิธีปริพันธ์จำกัดนี้ แต่สำหรับบทความนี้จะนำเสนอเฉพาะการประมาณค่าปริพันธ์ด้วยการประมาณเชิงเส้น (วิธีกฏสี่เหลี่ยมคางหมู) เท่านั้น ซึ่งการใช้การประมาณด้วยวิธีกฏสี่เหลี่ยมคางหมูนี้จะสร้างเมทริกซ์ปริพันธ์ที่เป็นเมทริกซ์เชิงสามเหลี่ยมล่าง ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์จะเริ่มต้นพิจารณาจากการสร้างเมทริกซ์ปริพันธ์ (อันดับที่หนึ่ง) แล้วนำมาประยุกต์ในการพิจารณาการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่ n โดยการนำเมทริกซ์ปริพันธ์นี้ยกกำลัง n ซึ่งมีข้อดี คือ สามารถหลีกเลี่ยงความยุ่งยากของการหาผลเฉลยของอนุพันธ์อันดับต่างๆ ได้ด้วยการใช้เมทริกซ์ปริพันธ์อันดับที่หนึ่งเพียงเมทริกซ์เดียวเป็นหลัก ระเบียบวิธีปริพันธ์จำกัดนี้สามารถนำมาประยุกต์ใช้ในการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยทั้งที่ขึ้นกับเวลาและไม่ขึ้นกับเวลา สำหรับบทความนี้จะนำเสนอตัวอย่างการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหนึ่งตัวแปรที่ขึ้นกับ เวลา สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสองตัวแปรที่ไม่ขึ้นกับเวลา           The purpose of this article is to present the finite integration method (FIM) for solving n th order differential equation. This article is a reviewed article based on articles published in 2013-2016. The FIM is established by using numerical integration for solving the differential equations. Many numerical integrations have been studied to apply with the FIM. But in this study, we focus on the ordinary linear approximation or the trapezoid rule as the numerical integration which can be formed to be the lower triangular matrix. The use of FIM starts at considering the integral matrix in order to be applied to solve the n th order differential equation by using the n power of one integral matrix which is the advantage of this method, i.e. using only an (one layer) integral matrix to solve any n th order differential equation. This FIM can be applied to solve the ordinary differential equation and the partial differential equation in both cases of time-dependent and independent. This article presents examples of using FIM for solving the ordinary differential equation, the time-dependent partial differential equation in one variable, and the partial differential equation in two variables.